私には3か月の息子がいます。未婚で出産しました。子供の父親とは5年間交際しそのあと同棲を始めて半年後妊娠しました。結婚して出産するはずだったのですが、彼の態度が何だかおかしく、原因を彼の親に聞いたところ、沢山の嘘をつかれていた事がわかりました。職業、借金、2度の結婚と子供の有無、そして一番悲しかったのが、私と同時期に交際していた人がいてその人との間にも認知していない子供がいる事がわかりました。
彼に結婚しても幸せにはしてあげられないよと言われ結局未婚で出産したのですたのですが、認知をしてもらうべきなのか悩んでいます。
先日も彼の両親が養育費をだしてくれようとしたのですが、そのお金を彼は嘘をついて持ってこず、使ってしまったようです。それから一切連絡はありません。
認知してもらったところで彼自身が養育費など払わないと思うし、むしろ将来子供にお金をせびりにきたりするのではないかとか不安になります。
そんな人でも息子にとっては父親であり認知してもらうべきなのでしょうか？
子供にとって名前だけでも父親がいたほうがいいのかもしれないけど、彼は嘘がバレたり気にくわないと家や物を暴れて壊したり、暴力をふるったりする人なので、これから関わるべきなのか結論がなかなかだせずにいます。

妊娠中お腹の子供は本当は俺の子供じゃないんじゃない？などずっと言われ続けたりして、私には悲しみしかなく、もう正直関わりたくない気持ちのが強いのですが、私の感情だけで子供の権利を奪ってしまってはいけないのではないかと‥
彼は私に「今までの事を許してもらうために俺は頑張っている。許してもらう努力をしてるのに許さないなんてひどい」とよく言うのですが、許したくても許せない私はひどい人間なのでしょうか？

長くなってしまいましたが
どなたか助言をいただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。